Rețele cristaline și celula elementară

Numărarea particulelor

Colțaparține la 8 celule: contează 1/8
Muchieaparține la 4 celule: 1/4
Fațăaparține la 2 celule: 1/2
Interioraparține doar unei celule: 1
Zcubic simplu 1; cubic cu volum centrat (cvc) 2; cubic cu fețe centrate (cfc) 4

Densitatea

ρ = \frac{Z \cdot M}{N _{A} \cdot a ^{3}}

Z = unități de formulă pe celulă

1 pm = 1 0^{- 10} cm 1 A ˚ = 1 0^{- 8} cm

a se exprimă în cm

Structuri de bază

Structură	Z	NC	Contact
cubic simplu	1	6	$a = 2 r$
cvc (Na, K, Fe-α)	2	8	$a 3 = 4 r$
cfc (Cu, Ag, Au, Al)	4	12	$a 2 = 4 r$
NaCl	4	6 : 6	$a = 2 (r^{+} + r^{-})$
CsCl	1	8 : 8	$a 3 = 2 (r^{+} + r^{-})$
CaF₂ (fluorină)	4	8 : 4	$a 3 /4 = r^{+} + r^{-}$

Raportul razelor

Raportul $r^{+} / r^{-}$ decide NC al cationului:

0,225–0,414NC 4 (ZnS)
0,414–0,732NC 6 (NaCl)
peste 0,732NC 8 (CsCl); de aceea CsCl nu are rețeaua NaCl
FluorinăCa²⁺ are 8 vecini F⁻, F⁻ are 4 vecini Ca²⁺ (raport 2 : 1, ca în formulă)

Vecini și grad de ocupare

Distanța dintre vecinii cei mai apropiați și fracția de volum ocupată de sfere:

Cubic simpluvecini la a; 52% ocupat
cvcvecini la $a 3 /2$ ; 68% ocupat
cfcvecini la $a 2 /2$ ; 74% ocupat (împachetare compactă)

1.Câte unități de formulă CsCl revin unei celule elementare a clorurii de cesiu (Cl⁻ în colțuri, Cs⁺ în centru)?
1248
Fiecare colț contează 1/8.
1. Cl⁻: 8 · 1/8 = 1; Cs⁺: 1 în centru.
2. Z = 1 (nu 8, cât e NC).
2.Cuprul cristalizează cfc, cu a = 361,5 pm. Calculează densitatea cuprului.
g/cm³
cfc: Z = 4.
1. a³ = (3,615·10⁻⁸)³ = 4,724·10⁻²³ cm³
2. $ρ = \frac{4 \cdot 63 , 55}{6 , 022 \cdot 1 0 ^{23} \cdot 4 , 724 \cdot 1 0 ^{- 23}}$ = 8,93 g/cm³
3.Un metal alcalin cristalizează cvc, cu a = 533 pm și ρ = 0,856 g/cm³. Ce masă atomică are?
g/mol
cvc: Z = 2.
1. $M = \frac{ρ N _{A} a ^{3}}{Z} = \frac{0 , 856 \cdot 6 , 022 \cdot 1 0 ^{23} \cdot ( 5 , 33 \cdot 1 0 ^{- 8} ) ^{3}}{2}$
2. M = 39,0 g/mol → potasiu
4.În CsCl, r(Cs⁺) = 174 pm și r(Cl⁻) = 181 pm; ionii se ating pe diagonala cubului. Calculează densitatea cristalului.
g/cm³
$a 3 = 2 (r^{+} + r^{-})$ ; Z = 1.
1. $a = \frac{2 \cdot 355}{3}$ = 409,9 pm
2. a³ = (4,099·10⁻⁸)³ = 6,888·10⁻²³ cm³
3. $ρ = \frac{168 , 36}{6 , 022 \cdot 1 0 ^{23} \cdot 6 , 888 \cdot 1 0 ^{- 23}}$ = 4,06 g/cm³
5.KBr are rețeaua NaCl și ρ = 2,75 g/cm³. Știind r(K⁺) = 138 pm, calculează raza ionului Br⁻.
pm
Află întâi a din densitate (Z = 4), apoi folosește a = 2(r⁺ + r⁻).
1. $a^{3} = \frac{4 \cdot 119 , 00}{2 , 75 \cdot 6 , 022 \cdot 1 0 ^{23}}$ = 2,874·10⁻²² cm³ → a = 6,600·10⁻⁸ cm = 660,0 pm
2. r(Br⁻) = a/2 − r(K⁺) = 330,0 − 138 = 192 pm
6.CaF₂ are a = 546,3 pm. Calculează distanța cea mai mică Ca²⁺–F⁻.
pm
F⁻ stă în centrul fiecăruia dintre cele 8 cubulețe de latură a/2.
1. F⁻ e la a/4 pe fiecare axă de un Ca²⁺ din colțul cubulețului.
2. $d = \frac{a 3}{4} = \frac{546 , 3 \cdot 3}{4}$ = 236,6 pm
7.Un compus MX are r⁺/r⁻ = 0,93. Ce tip de rețea (NC cation : NC anion) este de așteptat?
ZnS, 4 : 4NaCl, 6 : 6CsCl, 8 : 8CaF₂, 8 : 4
Compară cu pragurile 0,414 și 0,732.
1. 0,93 > 0,732 → cationul încape între 8 anioni → NC 8.
2. Pentru formula MX, NC egale: 8 : 8, tip CsCl. CaF₂ cere formula MX₂.
8.Aurul (M = 196,97) cristalizează cfc, cu ρ = 19,3 g/cm³. Calculează distanța dintre doi atomi de aur vecini.
pm
Află a, apoi vecinii se ating pe diagonala feței.
1. $a^{3} = \frac{4 \cdot 196 , 97}{19 , 3 \cdot 6 , 022 \cdot 1 0 ^{23}}$ = 6,779·10⁻²³ cm³ → a = 407,7 pm
2. $d = a / 2$ = 288,3 pm (raza atomului: 144 pm)